一、前言
RSA加密算法是一种典型的非对称加密算法，近期在备考过程中有所学习接触，在此整理归纳
二、RSA加密算法介绍
RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的 。
RSA是典型的非对称加密算法，该算法基于大素数分解。核心是模幂运算。 它通常是先生成一对RSA密钥，其中之一是保密密钥（私钥），由用户保存；另一个为公开密钥（公钥）， 可对外公开；要加密传输内容时，比如A要给B传输信息，此时A先用B的公钥将内容加密后传输，B收到A传输过来的信息后用自己的私钥解密.
在该过程中，只要B不泄露自己的私钥，那么就算第三方截取到了该信息，没有B的私钥也无法解密获得内容信息. RSA算法的安全性依赖于大数分解，计算两个大素数的乘积很容易，但是反过来由该乘积分解成两个素数相乘，如果该乘积够大的话，分解的难度是极其大的
RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近三十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。1983年麻省理工学院在美国为RSA算法申请了专利 。
RSA允许你选择公钥的大小。512位的密钥被视为不安全的；768位的密钥不用担心受到除了国家安全管理（NSA）外的其他事物的危害；1024位的密钥几乎是安全的。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。
三、对称加密与非对称加密
1.密钥分发问题
在加密算法之外，面临一个问题，那就是：密钥的分发。就是说，解密方如何获得加密方的密钥呢？从而出现了：对称加密和非对称加密。
2.对称加密
对称加密指的就是加密和解密使用同一个秘钥，所以叫做对称加密。对称加密只有一个秘钥，作为私钥。这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。
常见的对称加密算法：DES，AES，3DES等等。
3.非对称加密
非对称加密指的是：加密和解密使用不同的秘钥，一把作为公开的公钥，另一把作为私钥。公钥加密的信息，只有私钥才能解密。私钥加密的信息，只有公钥才能解密。常见的非对称加密算法：RSA，ECC。
私钥只能由一方安全保管，不能外泄，而公钥则可以发给任何请求它的人。非对称加密使用这对密钥中的一个进行加密，而解密则需要另一个密钥。比如，你向银行请求公钥，银行将公钥发给你，你使用公钥对消息加密，那么只有私钥的持有人–银行才能对你的消息解密。与对称加密不同的是，银行不需要将私钥通过网络发送出去，因此安全性大大提高。
四、欧拉函数
1. 什么是欧拉函数
欧拉函数是小于x的整数中与x互素的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1.
任意给定正整数n,计算在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系。计算这个值的方法叫做欧拉函数。以φ(n)表示。如φ(8)=4，应为在1到8之中，与8形成互质关系的有1，3，5，7。
2.如何计算欧拉函数
通式：φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1, p2……pn为n的所有素因数，n是不为0的整数.
3.欧拉函数的一些性质
- 对于素数p，φ(p)=p−1
- 若p为素数，n=p^k，则φ(n)=p^k-p^(k-1)
- 欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数；若m,n互素，则φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)，特殊的，当m=2，n为奇数时，φ(2*n)=φ(n)
- 当n>2时，φ(n)是偶数
- 小于n的数中，与n互素的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)
- n=∑d∣nφ(d)，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n
五、欧拉定理
欧拉定理是指：如果两个正整数a和n互素，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的式子成立：
即a的φ(n)次方减去1，可以被n整除. 比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。
再比如，3和4互质，φ(4)=2，(32-1)/4=2. 当a为正整数，n为素数且a不能被n整除时，则有
a(n-1) ≡ 1 (mod n)
六、模反元素
如果两个正整数a和n互素，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1. 这时，b就叫做a对模数n的模反元素.
比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。
欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在，如下图：
可以看到：a的 φ(n)-1 次方，就是a对模数n的模反元素.
七、RSA算法
举个例子：
假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？
第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。
爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
第二步，计算p和q的乘积n。
爱丽丝就把61和53相乘。
n = 61×53 = 3233n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式：
φ(n) = (p-1)(q-1)爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。
第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）
第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓”模反元素”就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
ed ≡ 1 (mod φ(n)) ===》》 ed - 1 = kφ(n)于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
ex + φ(n)y = 1例子中，已知 e=17, φ(n)=3120
17x + 3120y = 1这个方程可以用”扩展欧几里得算法”求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。
八、RSA算法加解密
加密：
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对M进行加密。这里需要注意，M必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且M必须小于n。
C = Me mod n爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：
2790 ≡ 6517 (mod 3233)于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
解密：
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。
M = Cd mod n也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出
65 = 27902753(mod 3233)因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此，”加密–解密”的整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从C求出M。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
九、RSA算法的安全可靠性
在上文生成密钥时，一共产生了6个参数
p q n φ(n) e d这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"
举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。
12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
02221240479274737794080665
351419597459856902143413它等于这样两个质数的乘积：
33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
十、总结
公开密码算法与其他密码学完全不同，它是基于数学函数而不是基于替换或置换。与使用一个密钥的对称算法不同，公开密钥算法是非对称的，并且它使用的是两个密钥，包括用于加密的公钥和用于解密的私钥。公开密钥算法有RSA、 Elgamal等。
RSA是是第一个安全、实用的公钥密码算法，已经成为公钥密码的国际标准，是目前应用广泛的公钥密码体制。RSA的基础是数论的欧拉定理，其安全性基于大整数因子分解问题的困难性，公私钥是一对大素数的函数。并且该算法已经经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有其一定的可信度。
随着现代信息快速发展和网络的普及，人们可以不用出门而了解世界大事和一些重要的信息。人们在这快速发展的今天再也没有属于自己的秘密，因此我们要保护好自己的个人信息或者公司信息等等，使隐私不被泄漏。所以信息的加密对我们来说非常的重要，文件的加密可以用到各个领域，它将要影响我们未来的生活。
参考资料
https://baike.baidu.com/
https://www.wikipedia.de/
https://www.jiamisoft.com/blog/23390-jdljrsa.html
https://www.cnblogs.com/idreamo/p/9411265.html
https://blog.csdn.net/gao131360144/article/details/79966094
https://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html
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